Vekua-Layer: Präzise physikbasierte neuronale Darstellungen

Ein neues Verfahren namens Vekua Layer (VL) verspricht, die Art und Weise zu revolutionieren, wie physikalische Felder mit neuronalen Netzen modelliert werden. Durch die Anwendung klassischer Generalized Analytic Functions wird die Hypothesenmenge auf den Kern des zugrunde liegenden Differentialoperators beschränkt. Dabei kommen harmonische und Fourier‑Bessel‑Basen zum Einsatz, sodass das Lernproblem von einem iterativen Gradientenabstieg zu einem streng konvexen Least‑Squares‑Problem wird, das mittels linearer Projektion exakt gelöst werden kann.

Im Vergleich zu Sinusoidal Representation Networks (SIRENs) zeigte der VL bei homogenen elliptischen partiellen Differentialgleichungen herausragende Ergebnisse. Für exakte Rekonstruktionsaufgaben erreichte das Verfahren eine Fehlerquote von MSE ≈ 10⁻³³ – praktisch maschinengenau. Selbst bei stark verrauschten Messdaten blieb die Genauigkeit stabil (MSE ≈ 0,03), was den VL als physikinformierten Spektralfilter qualifiziert.

Ein weiteres Highlight des Vekua Layers ist die Möglichkeit der „holographischen“ Extrapolation globaler Felder aus partiellen Randdaten. Durch analytische Fortsetzung können komplette Feldverteilungen rekonstruiert werden, ein Feature, das bei herkömmlichen, koordinatenbasierten Annäherungen nicht verfügbar ist. Diese Kombination aus mathematischer Präzision, konvexer Optimierung und erweiterten extrapolativen Fähigkeiten macht den VL zu einem vielversprechenden Werkzeug für die wissenschaftliche Modellierung und Simulation.