Neuer Ansatz für Riemannische Zeroth-Order-Optimierung auf unvollständigen Mannigfaltigkeiten

In einer wegweisenden Studie wird die Riemannische Zeroth-Order-Optimierung auf Mannigfaltigkeiten untersucht, deren zugrunde liegende Metrik geodätisch unvollständig ist. Der Autor entwickelt dafür strukturbeibehaltende Metriken, die geodätisch vollständig sind und gleichzeitig garantieren, dass jeder stationäre Punkt unter der neuen Metrik auch unter der ursprünglichen Metrik stationär bleibt.

Auf dieser Basis wird der klassische symmetrische Zwei-Punkte-Zeroth-Order-Estimator neu betrachtet. Die Analyse des mittleren quadratischen Fehlers erfolgt ausschließlich aus intrinsischer Sicht und hängt ausschließlich von der Geometrie der Mannigfaltigkeit ab – unabhängig von einer äußeren Einbettung.

Durch diese intrinsische Betrachtung lassen sich Konvergenzgarantien für stochastische Gradientenabstiegsverfahren mit dem neuen Estimator ableiten. Unter zusätzlichen, aber realistischen Bedingungen entspricht ein ε‑stationärer Punkt unter der konstruierten Metrik g′ auch einem ε‑stationären Punkt unter der ursprünglichen Metrik g, wodurch die bekanntesten Komplexitätsgrenzen für geodätisch vollständige Räume erreicht werden.

Experimentelle Untersuchungen an synthetischen Problemen bestätigen die theoretischen Vorhersagen. In einem praktischen Mesh‑Optimierungsaufgabe zeigt das Verfahren stabile Konvergenz, selbst wenn die geodätische Vollständigkeit fehlt – ein bedeutender Fortschritt für die Anwendung von Zeroth-Order-Optimierung in komplexen geometrischen Kontexten.