Neuer Ansatz: Discrete Solution Operator Learning für geometriebasierte PDEs

Neural‑Operator‑Learning hat die Lösung von partiellen Differentialgleichungen (PDEs) revolutioniert, indem es Operatoren als Abbildungen zwischen kontinuierlichen Funktionsräumen approximiert. In vielen ingenieurtechnischen Anwendungen jedoch führen Änderungen der Geometrie zu diskreten Struktureinflüssen – von topologischen Umgestaltungen über abrupte Änderungen der Randbedingungen bis hin zu veränderten Rechenbereichen. Diese diskreten Veränderungen verletzen die Annahme, dass die Operatoren glatt variieren, und stellen herkömmliche Lernansätze vor ein großes Problem.

Um diesem Problem zu begegnen, wurde das Konzept des Discrete Solution Operator Learning (DiSOL) entwickelt. DiSOL zerlegt den klassischen Solver in lernbare Stufen, die die traditionellen Diskretisierungsschritte nachbilden: Lokale Beitragserfassung, mehrstufige Assemblierung und implizite Rekonstruktion der Lösung auf einem eingebetteten Gitter. Durch diese strukturierte Aufteilung bleibt die Verfahrenstätigkeit konsistent, während gleichzeitig die diskreten Geometrie‑abhängigen Strukturen berücksichtigt werden.

In einer Reihe von Testfällen – darunter Poisson‑, Advektions‑Diffusions‑, lineare Elastizitäts‑ und zeitabhängige Wärmeleitungsgleichungen – zeigte DiSOL stabile und präzise Vorhersagen, sowohl innerhalb der Trainingsverteilung als auch bei stark abweichenden, aus‑Verteilungs‑Geometrien. Dazu zählen Fälle mit diskontinuierlichen Grenzen und topologischen Änderungen. Diese Ergebnisse unterstreichen die Notwendigkeit prozeduraler Operatordarstellungen in geometriefokussierten Szenarien und positionieren DiSOL als eigenständigen, ergänzenden Ansatz im Bereich des wissenschaftlichen Machine Learning.