Konformes Vorhersagen auf Mannigfaltigkeiten: geometriebewusste Unsicherheit

Konformes Vorhersagen liefert distributionsfreie Abdeckungsgarantien für Regressionsprognosen, doch bisher wurden die Methoden ausschließlich für euklidische Ausgabespaces entwickelt. Wenn die Zielvariablen auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten liegen, sind die herkömmlichen Vorhersagebereiche oft schlecht kalibriert und führen zu ungleichmäßiger Abdeckung.

In der vorliegenden Arbeit wird ein adaptiver, geodesischer Ansatz vorgestellt, der die klassischen euklidischen Residuen durch geodesische Nichtkonformitätswerte ersetzt. Diese werden anschließend mit einem Kreuzvalidierungs-Schätzer für die lokale Schwierigkeitsstufe normalisiert, um heteroskedastisches Rauschen zu berücksichtigen. Das Ergebnis sind geodesische Kappen auf der Kugel, deren Fläche positionsunabhängig bleibt und sich dynamisch an die lokale Vorhersagekomplexität anpasst.

Durch diese Anpassung wird die bedingte Abdeckung deutlich gleichmäßiger. In synthetischen Experimenten auf einer Kugel mit starkem heteroskedastischem Rauschen sowie in einer realen Aufgabe zur Vorhersage des geomagnetischen Feldes aus IGRF‑14 Satellitendaten zeigt der adaptive Ansatz eine erhebliche Reduktion der Varianz der bedingten Abdeckung und bringt die Worst‑Case‑Abdeckung näher an das angestrebte nominale Niveau.

Im Vergleich zu koordinatenbasierten Baselines, die aufgrund von Kartenverzerrungen einen großen Teil der Abdeckungsfläche verschwenden, demonstriert die neue Methode eine effizientere Nutzung des Abdeckungsraums. Diese Ergebnisse unterstreichen die Bedeutung einer geometriebewussten Unsicherheitsabschätzung für Daten, die auf Mannigfaltigkeiten liegen, und eröffnen neue Perspektiven für Anwendungen in der Geophysik und darüber hinaus.