Neuer Ansatz: Lie‑Gruppenbasierte Latent‑Dynamik senkt Fehler von neuronalen Operatoren um bis zu 50 %

Neurale Operatoren haben die Lösung von partiellen Differentialgleichungen revolutioniert, indem sie auf Daten basierende, resolutionsunabhängige Modelle liefern. Doch ihre Leistung leidet häufig unter Instabilitäten bei mehrschichtigen Iterationen und langen Vorhersagehorizonten, weil die latenten Updates im unbeschränkten euklidischen Raum geometrische und Erhaltungsgesetze verletzen.

Die neue Methode, genannt Manifold Constraining based on Lie group (MCL), löst dieses Problem, indem sie die latente Repräsentation auf einer Mannigfaltigkeit mit niedriger Rang‑Lie‑Algebra‑Parametrisierung einschränkt. Durch gruppenbasierte Updates wird ein geometrischer Induktionsbias in bestehende neuronale Operatoren eingebettet – ein effizienter Plug‑and‑Play‑Ansatz, der die Modellarchitektur nicht grundlegend verändert.

Umfangreiche Tests an klassischen PDE‑Beispielen wie der 1‑D‑Burgers‑Gleichung und der 2‑D‑Navier‑Stokes‑Gleichung zeigen, dass MCL die relative Vorhersagefehler um 30 – 50 % senkt, während die Parameterzahl lediglich um 2,26 % steigt. Diese Ergebnisse demonstrieren, dass die Berücksichtigung geometrischer Beschränkungen die langfristige Vorhersagegenauigkeit von neuronalen Operatoren signifikant verbessert und damit einen skalierbaren Weg für die Anwendung in komplexen physikalischen Systemen eröffnet.