Neuer, strenger Regret‑Lower‑Bound für GP‑Bandits mit SE‑Kernel im Hypersphäre

Eine neue Studie liefert einen strengeren Regret‑Lower‑Bound für Gaussian‑Process‑Bandits mit dem squared exponential (SE) Kernel, wenn die Eingabedomäne eine Hypersphäre ist.

Das Problem behandelt die häufig genutzte Gaussian‑Process‑Bandit‑Strategie im frequentistischen Rahmen, bei dem die Belohnungsfunktion fest ist und im reproduzierenden Kernhilfsraum (RKHS) beschränkt bleibt.

Der Fokus liegt auf dem SE‑Kernel, einer der meistverwendeten Kernelfunktionen in GP‑Bandits, und untersucht die bislang offene Diskrepanz in den dimensionsabhängigen logarithmischen Faktoren zwischen oberen und unteren Schranken.

Die Autoren schließen diese Lücke teilweise, indem sie zeigen, dass jeder Algorithmus einen kumulativen Regret von mindestens Ω(√{T (ln T)^d (ln ln T)^{-d}}) erleidet, wobei T die Gesamtzahl der Schritte und d die Dimension der Hypersphäre ist.

Für das einfache Regret ergibt sich, dass ein Algorithmus mindestens Ω(ε^{-2} (ln(1/ε))^d (ln ln(1/ε))^{-d}) Zeitschritte benötigt, um einen ε‑optimalen Punkt zu finden.

Zusätzlich wird ein verbesserter O((ln T)^{d+1} (ln ln T)^{-d})‑Obergrenze für die maximale Informationsgewinnung des SE‑Kernels bewiesen.

Damit wird die optimale Leistung des derzeit besten Algorithmus bis auf dimensionsunabhängige logarithmische Faktoren in der Hypersphäre garantiert.