Deep-Hilbert-Galerkin-Ansatz löst unendliche PDEs und optimale Kontrolle

In einer wegweisenden Veröffentlichung auf arXiv (2603.19463v1) stellen Forscher einen neuen Ansatz vor, der Deep Learning mit Hilbert–Galerkin-Operatoren kombiniert, um vollständig nichtlineare, zweite‑Ordnung‑PDEs in separablen Hilbert‑Räumen zu approximieren. Der Fokus liegt dabei auf HJB‑Gleichungen, die in der optimalen Kontrolle von Systemen mit unendlicher Dimensionalität auftreten.

Der Kern der Arbeit ist die Beweisführung erster Universeller Annäherungstheoreme (UATs), die speziell auf die komplexen Topologien von Hessian‑Termen und die damit verbundenen Kontinuitätsbedingungen zugeschnitten sind. Diese Topologien sind nicht sequenziell und nicht metrivierbar, was die mathematische Behandlung besonders herausfordernd macht. Trotz dieser Schwierigkeiten zeigen die Autoren, dass Hilbert‑Galerkin Neural Operators (HGNOs) sämtliche PDE‑Terme – inklusive unbeschränkter Operatoren auf die erste Ableitung – zuverlässig approximieren können.

Für Kontrollprobleme erweitern die Forscher die UATs auf optimale Feedback‑Kontrollen, indem sie die approximierte Wertfunktion in Form eines HGNO nutzen. Zusätzlich entwickeln sie neue Trainingsmethoden, die sie Deep Hilbert‑Galerkin und Hilbert Actor‑Critic nennen. Diese Verfahren minimieren die L²‑Norm des Residuals über den gesamten Hilbert‑Raum, anstatt lediglich auf projizierte, endlichdimensionale Gleichungen zu beschränken. Damit stellen sie die erste Arbeit dar, die einen solchen Ansatz systematisch vorstellt.

Die vorgestellten Modelle finden Anwendung in zahlreichen Bereichen der angewandten Wissenschaft, darunter funktionale Differentialgleichungen in der Physik, Kolmogorov‑ und HJB‑PDEs im Zusammenhang mit kontrollierten PDEs, SPDEs, Pfad‑abhängigen Systemen, teilweise beobachteten stochastischen Systemen und Mean‑Field‑SDEs. Diese Arbeit eröffnet damit neue Perspektiven für die numerische Lösung von hochdimensionalen Optimierungsproblemen.