Räumliche Geometrie und Messabweichung bei Wasserstein-Propagation

In der Analyse von Reverse‑Diffusion‑Modellen wird bislang der Sampling‑Fehler in der euclidischen Geometrie des Wasserstein‑Abstands \(\Wtwo\) entlang der gesamten Reverse‑Trajektorie propagiert. Unter schwacher Log‑Konkavität führt die Gauss‑Glättung jedoch dazu, dass die Kontraktion zunächst bei großen Abständen einsetzt, während kurze Abstände nicht dissipativ bleiben. Das erster­n nutzbare Kontraktionsverhalten ist also radial und nicht euclidisch, was zu einer Messabweichung zwischen der frühzeitig kontrahierenden Geometrie und derjenigen, in der der Endfehler gemessen wird, führt.

Die Autoren formalisierten diese Diskrepanz durch ein explizites radiales Unterprofil des erlernten Reverse‑Drifts. Der Grenzfall im Fernfeld liefert eine Kontraktionsreserve, während der Nahfeld‑Grenzfall die euclidische Last bestimmt, die die direkte \(\Wtwo\)-Propagation steuert. Zulässige Wechseltimes werden dadurch bestimmt, dass die Reserve im verbleibenden Glättungsfenster positiv bleibt.

Mit dieser Struktur entwickelten sie ein „One‑Switch“-Routing‑Argument: vor dem Wechsel wird durch Reflexions‑Coupling eine Kontraktion in einer konkaven Transport‑Metrik erreicht, die an das radiale Profil angepasst ist. Beim Wechsel wird die Diskrepanz einmal in die \(\Wtwo\)-Metrik zurück konvertiert, unter Berücksichtigung eines \(p\)-Moment‑Budgets, und anschließend über das verbleibende kurze Fenster in der euclidischen Geometrie propagiert. Für diskrete Approximationen des erlernten Reverse‑SDE unter L²‑Score‑Fehler‑Kontrolle, einer einseitigen Lipschitz‑Bedingung des Score‑Fehlers sowie üblichen Well‑Posedness‑ und Coupling‑Hypothesen erhalten sie explizite, nicht‑asymptotische End‑zu‑End‑\(\Wtwo\)-Garantien, ein skalare Switch‑Auswahl‑Ziel und eine scharfe strukturelle Grenze für die Konvergenz.