Neuer Ansatz mit neuronalen Netzwerken liefert exakte Lösungen für nichtlineare PDEs

In einer aktuellen Veröffentlichung auf arXiv wird das Auxiliary Equation Neural Networks Method (AENNM) vorgestellt – ein innovatives Verfahren, das neuronale Netzwerke (NNs) mit der klassischen Auxiliary Equation Methode kombiniert, um exakte Lösungen für nichtlineare partielle Differentialgleichungen (NLPDEs) zu erhalten.

Der Schlüssel zum Erfolg des AENNM ist die Einführung einer neuen Aktivierungsfunktion, die aus den Lösungen der Riccati‑Gleichung abgeleitet wird. Diese Funktion schafft eine bislang unbekannte mathematische Brücke zwischen der Theorie der Differentialgleichungen und dem Deep‑Learning‑Bereich und erweitert damit das Repertoire der klassischen NN‑Architekturen.

Durch die Kombination der starken Approximationseigenschaften von neuronalen Netzwerken mit der hohen Präzision symbolischer Berechnungen erzielt das AENNM eine deutlich verbesserte Rechenleistung und Genauigkeit. Die Methode nutzt dabei spezielle NN‑Modelle mit den Architekturen „2‑2‑2‑1“ und „3‑2‑2‑1“, in denen die neue Aktivierungsfunktion als Trial‑Funktion eingesetzt wird.

Die Wirksamkeit des Verfahrens wird anhand dreier exemplarischer Gleichungen demonstriert: einer nichtlinearen Evolutionsgleichung, der Korteweg‑de‑Vries‑Burgers‑Gleichung und der (2+1)-dimensionalen Boussinesq‑Gleichung. Für jede dieser Gleichungen liefert das AENNM bisher unbekannte exakte Lösungen, die in hyperbolischen, trigonometrischen und rationalen Funktionen ausgedrückt werden.

Zur Veranschaulichung der dynamischen Eigenschaften der gefundenen Lösungen werden dreidimensionale, Kontur‑ und Dichte‑Plots präsentiert. Das vorgestellte Verfahren eröffnet damit einen neuen, breit einsetzbaren Rahmen für die Lösung von NLPDEs und verbindet dabei tiefgreifende mathematische Konzepte mit modernen Deep‑Learning‑Techniken.