SiFEN: Lernende Finite-Elemente-Netzwerke revolutionieren Funktionsapproximation

Die neu vorgestellte Simplex‑FEM‑Network (SiFEN) ist ein lernender, Stückweise‑polynomieller Vorhersagealgorithmus, der Funktionen f : ℝᵈ → ℝᵏ als global Cʳ‑glatte Finite‑Elemente‑Felder auf einem lernbaren, simplicialen Netz darstellt. Optional kann der Eingaberaum durch eine leichte, invertierbare Verzerrung transformiert werden, wodurch die Modellierung noch flexibler wird.

Bei jeder Anfrage wird exakt ein Simplex aktiviert und höchstens d + 1 Basisfunktionen über barycentrische Koordinaten genutzt. Diese Architektur liefert explizite Lokalität, kontrollierbare Glattheit und eine sparsitäre, cache‑freundliche Repräsentation, die sich ideal für schnelle Inferenz eignet.

SiFEN kombiniert Bernstein‑Bezier‑Polynome mit einer leicht invertierbaren Warp‑Funktion und wird end‑to‑end trainiert. Das Training nutzt Shape‑Regularisierung, semi‑diskrete Optimal‑Transport‑Abdeckung und differenzierbare Kantenschaltungen. Unter üblichen Annahmen zur Formregulierung und Bi‑Lipschitz‑Warp‑Funktion erreicht SiFEN die klassische FEM‑Approximationsgeschwindigkeit M⁻ᵐ⁄ᵈ mit M Mesh‑Knoten.

In Experimenten auf synthetischen Approximationstasks, tabellarischer Regression/Klassifikation und als Drop‑in‑Head für kompakte CNN‑Architekturen übertrifft oder erreicht SiFEN MLPs und KANs bei gleichem Parameterbudget. Zusätzlich verbessert es die Kalibrierung (niedrigere ECE/Brier‑Scores) und senkt die Inferenzlatenz dank der geometrischen Lokalität. Damit bietet SiFEN eine kompakte, interpretierbare und theoretisch fundierte Alternative zu dichten MLPs und Edge‑Spline‑Netzwerken.