Neural-Optimierungsrahmen für freie Rand-Diffeomorphismen Oberflächenabbildung

Die Optimierung von freien Rand‑Diffeomorphismen ist ein zentrales, aber äußerst schwieriges Problem in der Oberflächenabbildung. Hierbei muss die Randbedingung frei bleiben, während gleichzeitig die lokale Bijektivität bei großen Deformationen erhalten bleibt.

Die Theorie der Least‑Squares Quasiconformal (LSQC) Optimierung liefert dafür eine elegante mathematische Grundlage: Sie garantiert Existenz, Eindeutigkeit, Ähnlichkeitsinvarianz und Auflösungunabhängigkeit. In der Praxis stößt jedoch der herkömmliche numerische Algorithmus an Grenzen, weil er Landmarken benötigt und nicht in gradientenbasierte Optimierungen integriert werden kann.

Um diese Hürden zu überwinden, wurde das Spectral Beltrami Network (SBN) entwickelt. Dieses neuronale Surrogat integriert die LSQC‑Energie in eine mehrstufige, mesh‑spektrale Architektur und ermöglicht so eine effiziente und flexible Modellierung.

Aufbauend auf dem SBN wurde das Optimierungsframework SBN‑Opt vorgestellt. Es optimiert freie Rand‑Diffeomorphismen und erlaubt die explizite Steuerung lokaler geometrischer Verzerrungen, wodurch die Qualität der Abbildung deutlich gesteigert wird.

Umfangreiche Experimente – darunter density‑equalizing Maps und inkonsistente Oberflächenregistrierungen – zeigen, dass SBN‑Opt die Leistung traditioneller numerischer Verfahren übertrifft und damit neue Möglichkeiten für die Oberflächenabbildung eröffnet.