Optimale Kontrolle für terminale Constraints in Flow-Modellen
In einer bahnbrechenden Studie wird gezeigt, wie man mit vortrainierten, flow‑basierten Generativmodellen gezielt aus Verteilungen mit terminalen Einschränkungen sampeln kann. Durch die Formulierung eines optimalen Kontrollproblems lässt sich die Wertfunktion exakt über eine Hamilton–Jacobi–Bellman‑Gleichung beschreiben, und der optimale Rückkopplungssteuerungsmechanismus ergibt sich als Minimierer des zugehörigen Hamiltonians.
Ein besonders spannendes Ergebnis ist, dass die Stärke der Kontrollstrafe das Verhalten des Prozesses steuert: Bei hoher Strafe kehrt das Modell zur ursprünglichen Referenzverteilung zurück, während bei nahezu fehlender Strafe die Endverteilung einer generalisierten Wasserstein‑Projektion auf die Constraint‑Ebene entspricht. Dieses Verhalten eröffnet neue Möglichkeiten, komplexe physikalische und statistische Bedingungen exakt zu erfüllen.
Zur praktischen Umsetzung wurde die Methode TOCFlow entwickelt – ein geometrisch bewusster, sampling‑time‑Guidance‑Ansatz für bereits trainierte Flows. Durch die Lösung des Kontrollproblems in einem terminalen, beweglichen Rahmen, der Referenztrajektorien folgt, entsteht ein geschlossener, skalare Dämpfungsfaktor entlang des Riemann‑Gradienten. Dieser Faktor erfasst zweite‑Ordnung‑Krümmungseffekte, ohne dass Matrixinversionen nötig sind, und liefert damit die geometrische Konsistenz von Gauss‑Newton‑Updates zum Preis eines Standard‑Gradienten‑Guidings.
Die Leistungsfähigkeit von TOCFlow wurde an drei hochdimensionalen wissenschaftlichen Aufgaben getestet: Darcy‑Flow, konstruierte Trajektorienplanung und Turbulenz‑Snapshots mit Kolmogorov‑Spektralskalierung. In allen Fällen übertraf TOCFlow sowohl die Euclidische Guidance als auch klassische Projektion‑Baselines in Bezug auf die Erfüllung der Constraints, während die generative Qualität des Ausgangsmodells erhalten blieb. Diese Ergebnisse markieren einen bedeutenden Fortschritt in der kontrollierten Generierung komplexer, constraint‑geprägter Daten.