Neues Operator‑Lernverfahren nutzt nur Randdaten und fundamentale Lösungen

Ein neues neuronales Lernverfahren für lineare partielle Differentialgleichungen nutzt ausschließlich Randdaten – Lösungswerte und Normaldifferenzen – und verzichtet komplett auf vollständige Domänenabstichungen. Durch die Kombination von fundamentalen Lösungen mit dem bereits entwickelten Mathematical Artificial Data (MAD) Ansatz entsteht ein vollständig datengetriebener Prozess ohne externe Messungen oder numerische Simulationen.

Der MAD‑Ansatz erzeugt physikalisch konsistente Trainingsdaten direkt aus den fundamentalen Lösungen der jeweiligen Gleichung. So entstehen Dirichlet‑Neumann‑Paarungen, die das Modell ausschließlich an den Randbedingungen trainiert. Das Ergebnis ist der Mathematical Artificial Data Boundary Neural Operator (MAD‑BNO), der Rand‑zu‑Rand‑Abbildungen lernt.

Nach dem Training kann die Lösung im Inneren beliebiger Punkte effizient über Randintegralformeln rekonstruiert werden. Dabei werden Dirichlet‑, Neumann‑ und gemischte Randbedingungen sowie allgemeine Quellen berücksichtigt.

Die Methode wurde an klassischen Benchmark‑Aufgaben für die Laplace‑, Poisson‑ und Helmholtz‑Gleichungen in zwei Dimensionen getestet. Die erzielten Genauigkeiten liegen im Vergleich zu bestehenden neuronalen Operatoren auf dem gleichen Niveau oder sind sogar besser, während die Trainingszeit deutlich reduziert wird.

Dank der fundamentalen Lösung als Basis lässt sich das Verfahren leicht auf dreidimensionale Probleme und komplexe Geometrien erweitern, was es zu einer vielversprechenden Option für die schnelle und präzise Lösung von PDE‑Aufgaben macht.