Schnelles k-Means-Clustering auf Riemann-Mannigfaltigkeiten via Fréchet-Maps

Ein neues Verfahren ermöglicht die effiziente Clusterbildung von Daten auf hochdimensionalen, nicht-euklidischen Mannigfaltigkeiten. Traditionelle intrinsische Methoden stoßen hier schnell an ihre Grenzen, weil die Berechnung von geodätischen Distanzen und Mittelwerten extrem rechenintensiv ist.

Der Schlüssel liegt in der p‑Fréchet‑Abbildung $F^p$, die jede Mannigfaltigkeit in einen niedrigdimensionalen euklidischen Raum $\mathbb{R}^\ell$ überführt. Durch die Wahl einer kleinen Menge von Referenzpunkten $\{r_i\}$ wird die komplexe Geometrie in eine kompakte Distanzmatrix umgewandelt, sodass Standard‑k‑Means‑Algorithmen ohne Anpassung eingesetzt werden können.

Die Autoren untersuchen die mathematischen Eigenschaften von $F^p$ sowohl im allgemeinen metrischen Raum als auch speziell auf der Mannigfaltigkeit der $n\times n$ symmetrisch positiven definiten Matrizen (SPD). In umfangreichen Simulationen mit synthetischen und realen SPD‑Datensätzen konnten sie die Laufzeit um bis zu zwei Größenordnungen reduzieren, während die Cluster‑Genauigkeit unverändert hoch blieb – selbst in Fällen, in denen alternative Verfahren versagen.

Dieses Ergebnis eröffnet neue Möglichkeiten für die Analyse großer, hochdimensionaler Datensätze in Bereichen wie Bildverarbeitung, medizinische Bildgebung und maschinelles Lernen, wo SPD‑Matrizen häufig auftreten. Die Kombination aus theoretischer Fundierung und praktischer Effizienz macht die Methode zu einem vielversprechenden Werkzeug für zukünftige Forschungsprojekte.