Neues GNN-Modell reduziert PDEs effizient – Latent Dynamics GCN

Graph Neural Networks (GNNs) gewinnen zunehmend an Bedeutung als leistungsstarke Werkzeuge für die nichtlineare Modellreduktion (MOR) zeitabhängiger, parametrisierter partieller Differentialgleichungen (PDEs). Bisherige Ansätze haben jedoch Schwierigkeiten, geometrische Induktionsvoraussetzungen mit interpretierbarem latenten Verhalten zu verknüpfen, wodurch dynamikgetriebene Merkmale oder räumliche Informationen vernachlässigt werden.

In dieser Arbeit wird das Latent Dynamics Graph Convolutional Network (LD‑GCN) vorgestellt – eine rein datengetriebene, encoder‑freie Architektur, die eine globale, niedrigdimensionale Repräsentation dynamischer Systeme lernt, die an externe Eingaben und Parameter angepasst ist. Die zeitliche Entwicklung wird im latenten Raum modelliert und durch Zeitschrittverfahren vorangetrieben, was eine Zeit‑Extrapolation ermöglicht. Die Trajektorien werden anschließend konsistent auf geometrisch parametrisierte Domänen mittels eines GNN zurückübersetzt.

Das Framework steigert die Interpretierbarkeit, indem es die Analyse der reduzierten Dynamik erlaubt und Zero‑Shot‑Vorhersagen durch latente Interpolation unterstützt. Die Methode wird mathematisch durch einen universellen Approximationstheorem für encoder‑freie Architekturen validiert und numerisch an komplexen Problemen der Computational Mechanics getestet, die physikalische und geometrische Parameter umfassen. Dabei konnten sogar bifurkationsbedingte Phänomene in den Navier‑Stokes‑Gleichungen erkannt werden.

Der zugehörige Code ist öffentlich verfügbar unter https://github.com/lorenzotomada/ld-gcn-rom.