SPIKE: Koopman-Regularisierung verbessert Physik-informierte neuronale Netze
Physik-informierte neuronale Netze (PINNs) lösen Differentialgleichungen ohne Gitter, indem sie physikalische Gesetze direkt in das Training einbetten. In der Praxis neigen sie jedoch dazu, sich im Trainingsbereich zu stark anzupassen, was die Vorhersagekraft außerhalb dieser Region stark einschränkt.
Das neue Framework SPIKE (Sparse Physics-Informed Koopman-Enhanced) adressiert dieses Problem, indem es PINNs mit kontinuierlichen Koopman-Operatoren regularisiert. Durch die Forderung linearer Dynamik in einer lernbaren Beobachtungsraumdarstellung ($dz/dt = Az$) lernen sowohl die Variante ohne explizite Sparsität (PIKE) als auch die sparsere Version (SPIKE) kompakte Generatormatrizen. Die L1‑Regularisierung von $A$ sorgt dafür, dass die Modelle nur die wesentlichen Dynamikkomponenten erfassen – ein klarer Ausdruck des Prinzips der Parsimonie.
In umfangreichen Tests – von parabolischen, hyperbolischen und dispergierenden PDEs bis hin zu starren Systemen, Fluiddynamik (Navier–Stokes) und chaotischen ODEs (Lorenz) – zeigte SPIKE konsequente Verbesserungen bei der zeitlichen Extrapolation, der räumlichen Generalisierung und der langfristigen Vorhersagegenauigkeit. Die kontinuierliche Zeitformulierung mit Matrix‑Exponential‑Integration garantiert für steife Systeme eine bedingungslose Stabilität und vermeidet die Diagonaldominanzprobleme, die bei diskreten Koopman‑Operatoren auftreten.
SPIKE demonstriert damit, dass die Kombination aus physik‑informierten Netzwerken und sparsamen Koopman‑Regularisierungen ein robustes, generalisierbares Werkzeug für die Lösung komplexer dynamischer Probleme darstellt.