Neues Forschungsdokument: Cartan‑Netzwerke, Symmetrische Räume und Wärmeleitung
Auf dem arXiv erscheint das neue Preprint Tessellation Groups, Harmonic Analysis on Non‑compact Symmetric Spaces and the Heat Kernel in view of Cartan Convolutional Neural Networks (Version 1 vom 25.08.2025). Das Papier setzt die Entwicklung der Cartan‑Neural‑Networks fort, die bereits in drei früheren Veröffentlichungen gestartet wurden, und legt den Fokus auf die mathematischen Grundlagen, die für die nächsten Schritte nötig sind.
Im Kern geht es um die Einführung von Netzwerk‑Schichten, die als nicht‑kompakte symmetrische Räume modelliert werden. Diese Räume werden durch lösbare Gruppen‑Homomorphismen ineinander überführt. Inspiriert von klassischen Convolutional Neural Networks wird die Idee von Tits‑Satake‑Vektorbündeln eingeführt, wobei das TS‑Untermanifold die Basis bildet. Durch das Tiling der Basis‑Mannigfaltigkeit, die Darstellung der Bündel‑Abschnitte mittels Harmonischen und die Notwendigkeit einer allgemeinen Theorie von Trennwänden entstehen eine Reihe mathematischer Untersuchungen.
Die Autoren präsentieren die gruppentheoretische Konstruktion der Trennwände für sämtliche nicht‑kompakten symmetrischen Räume \(\mathrm{U/H}\). Außerdem wird die Tiling‑Gruppe \(\Delta_{8,3,2}\) sowie ihre normalen fuchsischen Untergruppen vorgestellt, die die Uniformisierung der Fermat‑Quartik mit Genus 3 und der Bolza‑Oberfläche mit Genus 2 ermöglichen. Die entsprechenden Quotienten‑Automorphismusgruppen werden ebenfalls analysiert.
Ein weiteres Highlight ist die neue Darstellung der Laplace‑Green‑Funktion und des Wärmekerns auf hyperbolischen Räumen \(\mathbb{H}^{n}\). Darauf aufbauend wird ein Rahmen für die Konstruktion harmonischer Funktionen in Form von Spinnor‑Repräsentationen skizziert, der die Verbindung zwischen Differentialgeometrie und neuronalen Netzwerken vertieft.
Das Dokument liefert somit einen umfassenden mathematischen Fundus, der die Weiterentwicklung von Cartan‑basierten Convolutional Neural Networks auf solide theoretische Füße stellt und gleichzeitig neue Wege in der harmonischen Analyse offenkundig macht.