Chebyshev-basierte DeepONet: Bessere PDE‑Lösungen für begrenzte Domänen
Deep Operator Networks (DeepONets) haben sich als zentrales Werkzeug im datengetriebenen Operator‑Learning etabliert. Sie ermöglichen flexible Surrogates für nichtlineare Abbildungen, die in partiellen Differentialgleichungen (PDEs) auftreten. Die klassische Trunk‑Architektur, die auf vollständig verbundenen Schichten basiert und rohe räumliche oder spatio‑temporale Koordinaten verarbeitet, hat jedoch Schwierigkeiten, scharfe Gradienten, Randschichten und nicht‑periodische Strukturen – typische Merkmale von PDEs auf beschränkten Gebieten mit Dirichlet‑ oder Neumann‑Randbedingungen – akkurat abzubilden.
Um diese Einschränkungen zu überwinden, wurde der Spectral‑Embedded DeepONet (SEDONet) vorgestellt. Im Gegensatz zum herkömmlichen Ansatz nutzt SEDONet einen festen Chebyshev‑Spektral‑Dictionary als Trunk, anstatt die Koordinaten direkt einzuspeisen. Diese nicht‑periodische Spektraleinbettung liefert eine gezielte induktive Voreinstellung, die speziell für begrenzte Domänen geeignet ist und es dem Modell ermöglicht, feine, nicht‑periodische Details zu erfassen, die für Fourier‑ oder MLP‑Trunks schwer darstellbar sind.
Die Leistungsfähigkeit von SEDONet wurde an einer Reihe von PDE‑Benchmarks getestet, darunter 2‑D‑Poisson, 1‑D‑Burgers, 1‑D‑Advektions‑Diffusionsgleichung, Allen‑Cahn‑Dynamik und das chaotische Lorenz‑96‑System. In allen Fällen erzielte SEDONet die niedrigsten relativen L2‑Fehler im Vergleich zu herkömmlichen DeepONets, FEDONets und anderen Fourier‑eingebetteten Varianten. Die durchschnittlichen Verbesserungen liegen bei etwa 30 – 40 % gegenüber dem Basis‑DeepONet und zeigen signifikante Vorteile bei nicht‑periodischen Geometrien.
Diese Fortschritte eröffnen neue Möglichkeiten für die Entwicklung hochpräziser Surrogatmodelle in der Computational Mechanics und darüber hinaus. Durch die Kombination von Spektral‑Einbettung und DeepONet‑Architektur können komplexe physikalische Phänomene effizienter und genauer simuliert werden, was insbesondere in Bereichen mit strengen Randbedingungen und feinen Strukturen von großem Nutzen ist.